完全平方公式证明的详细步骤

完全平方公式是代数中的一个重要公式，它描述了两个数的和（或差）的平方与其平方和（或差）的关系。具体来说，完全平方公式可以表示为：

1. 两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍。

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

2. 两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

以下是完全平方公式的详细证明步骤：

代数证明

步骤一：两数和的平方的证明

首先，我们将使用分配律来展开两数和的平方：

\[

(a + b)^2 = (a + b)(a + b)

\]

接着，我们分别将\(a\)和\(b\)与\(a + b\)相乘：

\[

= a(a + b) + b(a + b)

\]

这样我们就得到了：

\[

= a^2 + ab + ba + b^2

\]

由于\(ab = ba\)，我们可以简化为：

\[

= a^2 + 2ab + b^2

\]

步骤二：两数差的平方的证明

对于两数差的平方，我们同样使用分配律来展开：

\[

(a - b)^2 = (a - b)(a - b)

\]

将\(a\)和\(b\)与\(a - b\)相乘，我们得到：

\[

= a(a - b) + b(a - b)

\]

简化后得到：

\[

= a^2 - ab - ba + b^2

\]

再次由于\(ab = ba\)，我们可以简化为：

\[

= a^2 - 2ab + b^2

\]

几何证明

步骤一：两数和的平方的几何证明

我们可以将一个正方形分割成四个部分，其中大正方形的边长为\(a + b\)，两个小正方形的边长分别为\(a\)和\(b\)，两个长方形的长都是\(b\)，宽为\(a\)。根据面积公式相等，我们可以得出：

\[

(a + b) \times (a + b) = a \times a + 2 \times a \times b + b \times b

\]

即：

\[

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

\]

步骤二：两数差的平方的几何证明

类似地，我们可以通过组合两个正方形来证明两数差的平方公式。大正方形的边长为\(a\)，两个正方形组合在一起，大正方形边长比小正方形边长多\(b\)。求小正方形①的面积。小正方形①的面积为：

\[

a^2 - (a - b) \times xb - b^2 - (a - b) \times xb = a^2 - 2ab + b^2

\]

通过上述步骤，我们可以看到完全平方公式的证明既可以通过代数运算来实现，也可以通过几何图形的面积计算来实现。这两种证明方法都为我们提供了深入理解和记忆完全平方公式的机会。