主元法降低复杂度的例子

例子：考虑以下不等式：

$$

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} > \frac{1}{z}

$$

其中$x, y, z$都是正实数。我们希望找到$x, y, z$的取值范围，使得不等式成立。

直接解决这个问题可能很复杂，因为涉及到三个变量。然而，我们可以使用主元法来简化它。首先，我们将不等式两边都乘以$x y z$（这是合法的，因为$x, y, z$都是正的）：

$$

y+z > x

$$

现在我们选择$x$作为主元，那么$y$和$z$就可以看作是关于$x$的函数：

$$

y(x) = \frac{x}{x} + \frac{x}{z(x)} > x

$$

接下来，我们求解$y(x)$的最小值，这样我们就可以得到$x$的取值范围，使得原始不等式成立。通过对$y(x)$求导并令导数等于0，我们可以找到极值点，进而确定最值。最后，我们得到的结果是：

$$

x_{\min} = \sqrt{2}, \quad y_{\min} = z_{\min} = \sqrt{2}

$$

因此，当$x, y, z \geq \sqrt{2}$时，原始不等式成立。

通过这个例子，我们可以看到主元法是如何帮助我们减少计算复杂度，并简化问题的。我们只需要关注一个变量的变化，而将其他变量视为它的函数，这使得问题的解决方案更加清晰和高效。