十字相乘法举例

十字相乘法是一种常用的因式分解方法，尤其适用于二次三项式。这种方法的基本思想是将二次项分解为两个一次项的乘积，然后分别求解这两个一次项等于0的情况。以下是几个具体的例子：

示例1

考虑分解二次三项式 \(x^2 - 2x + 1\)。由于二次项系数为1，我们可以直接使用完全平方公式，得到 \(x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2\)。但是，如果我们想要使用十字相乘法，可以将其改写为 \(x(x) - 2x + 1 = 0\)。然后，我们将原方程改写为 \(x(x) - 2x + 1 = 0\)，并利用十字相乘法进行分解。

示例2

另一个例子是分解二次三项式 \(3x^2 - 7x + 4\)。首先，我们需要将二次项系数3和常数项4分别分解成两个因数的乘积，使得这些因数的乘积等于一次项系数-7。假设分解后的因式为 \((x+a)(3x+b)\)，根据十字相乘法可得 \(a\times b = 3\times4\)，\(ab = 12\)。因为12可以分解为1\times12,2\times6,3\times4,-1\times(-12)，我们需要找到满足条件的组合。在这个例子中，可以选择 \(a=-4\) 和 \(b=3\)，因为 \(-4\times3 = -12\)，且 \(-4+3=-1\)，与一次项系数-7不符。正确的组合应该是 \(a=1\) 和 \(b=-12\)，因为 \(1\times(-12) = -12\)，且 \(1+(-12)=-11\)，接近于-7。

示例3

第三个例子是分解二次三项式 \(6x^2 - 23x + 10\)。我们可以将其改写为 \(8x^2 - 22x + 15\) 或者 \(14a^2 - 29a - 15\)。然后，我们可以使用十字相乘法进行分解。例如，对于 \(8x^2 - 22x + 15\)，我们可以将其分解为 \((4x-3)(2x-5)\)；对于 \(14a^2 - 29a - 15\)，我们可以将其分解为 \((7a+3)(2a-5)\)。

以上就是十字相乘法的一些具体例子。需要注意的是，并不是所有的二次三项式都可以使用十字相乘法进行分解，只有当二次项系数为1时，这种方法才适用。此外，在使用十字相乘法时，还需要注意避免一些常见的错误，比如没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数，或者是由十字相乘写出的因式漏写字母。