朱世杰在《四元玉鉴》中的研究成果

1. 四元术：《四元玉鉴》的核心内容是四元术，这是一种多元高次方程组的建立和求解方法。朱世杰用“天”、“地”、“人”、“物”四字代表四个未知数，系统地介绍了二元、三元、四元高次方程组的布列和解法。解法的关键是消元，将多元高次方程组化成一元高次方程，然后应用增成开方法来解

2. 垛积术：这是一种高阶等差数列的求和方法。朱世杰在《四元玉鉴》中对这一方法进行了发展，比西方同类工作要早400年以上

3. 招差术：这是一种高次内插法。朱世杰在《四元玉鉴》中同样对这一方法进行了发展，这也是《四元玉鉴》中的一项重要成果

4. 数学教育：朱世杰毕生从事数学教育，他的这些研究成果在《四元玉鉴》中得到了系统的总结和普及。这部书由浅入深，从一位数乘法开始，一直讲到当时的最新数学成果――天元术，形成一个完整体系

5. 数学理论：朱世杰的工作在一定意义上讲，可以看作是宋元数学的代表，可以看作是古代筹算系统发展的顶峰。他的这些研究成果在《四元玉鉴》中得到了充分的体现

总的来说，朱世杰在《四元玉鉴》中的研究成果丰富多样，涉及到了方程理论、高阶等差级数求和、高次内插法等多个数学领域，对中国古代数学的发展做出了重大贡献。