立方和公式组合证明

立方和公式可以通过组合数学的方法进行证明。以下是组合证明的一个示例：

证明步骤

首先，考虑所有这样的数列：它由0到n之间的整数组成，长度为4，并且最后一个数严格大于前面所有的数。我们将所有满足要求的数列所组成的集合叫做集合A。也就是说：

集合A里面有多少元素呢？我们可以这样来计算：最后一个数d的值可以从1到n当中选择，只要d选定了，前面的数都可以从0到d-1之间任意选择，这一共会产生d3种选法。于是，集合A的元素个数就是13+23+…+n3。

接下来，我们在A、B两个集合之间建立一种一一对应的关系，从而证明13+23+…+n3=(1+2+…+n)2。

对于A当中的任意一个元素(a,b,c,d)：如果ab，那么数列保持原形不变，仍然是(a,b,c,d)；如果ab，那么把数列变为(c,d,b,a)；如果a=b，那么把数列变为(b,d,c,d)。容易看出，集合A当中的每一个元素都会唯一地对应于集合B当中的某个合法的元素。

类似地，对于B当中的任意一个元素(x,y,z,w)：如果yw，那么数列保持原形不变，仍然是(x,y,z,w)；如果yw，那么把数列变为(w,z,x,y)；如果y=w，那么把数列变为(x,x,z,w)。

通过这种一一对应的关系，我们可以证明集合A和集合B的元素个数相等，从而得到立方和公式。

结论

立方和公式可以通过组合数学的方法进行证明。这种方法涉及到集合A和集合B的定义以及它们之间的一一对应关系。通过这种证明方式，我们可以得到13+23+…+n3=(1+2+…+n)2的恒等式。