几何题中因式分解的实际案例分析

因式分解在几何题中的应用非常广泛，它可以帮助我们将复杂的几何问题简化，化繁为简，化难为易。下面我们将通过一些实际案例来分析因式分解在几何题中的应用。

1. 判断图形形状

在初中数学几何问题中，常会涉及判断几何图形的形状问题。一般可以通过求解特殊角度和求边长等方式进行判断，解题过程往往比较复杂。采用因式分解法则可有效地实现化难为易的目的。

例如，已知△ABC的三边分别为a、b、c，且三条边满足公式：a²+b²-4a-6b+13=0，判断该三角形的形状。本题中的代数关系式是一个分式等式，这就需要运用分式的相关知识进行分析和判断，即分母不等于0，通过对分式进行去分母，然后通过因式分解法分解因式。去分母得：a(b+c-a)=bc，即ab+ac-a²-bc=0，因式分解得：(a-c)(b-a)=0，则有a-c=0或者b-a=0，由此可得a=b或者a=c。由此可以判断该三角形为等腰三角形

2. 求解图形边长或周长

在初中几何图形题中，常会遇到求解图形边长的题目。学生在求解这类题目时往往不知如何下手，通常可以采用代数的思想来进行求解。

例如，已知a、b为等腰△ABC的两条边，且满足代数式：a²+b²-4a-6b+13=0，试求该三角形的周长。将原代数式变形配方可得(a-2)²+(b-3)²=0，根据非负数性质可以求出a、b的值，从而求出三角形的周长。由于a²+b²-4a-6b+13=0，对其进行变形和配方有：(a²-4a+4)+(b²-6b+9)=0，即(a-2)²+(b-3)²=0，根据非负数性质可知：a-2=0，且b-3=0，则求出：a=2，b=3

3. 求解关于三边关系问题

三角形的三边关系也是初中常见的试题类型之一。这类型的题通常是采用代数的思想求解，求解过程通常会用到因式分解，在解题过程中涉及因式分解、不等式，需要学生能够灵活运用知识。

例如，已知△ABC的三条边为a、b、c，求证三边满足不等关系式：a²-b²-c²-2bc<0。在求解此类题目时，通常采用逆推法对不等式进行因式分解，并利用三角形三边的关系进行分析。对原不等式的左边进行变形和因式分解，有：a²-b²-c²-2bc=a²-(b²+2bc+c²)=a²-(b+c)²=(a+b+c)(a-b-c)，由于三角形中，两边之和大于第三边，即有b+c>a，即a-b-c<0而边长为正值，即a+b+c>0，则有：(a+b+c)(a-b-c)<0，即a²-b²-c²-2bc<0

4. 求证几何问题

几何证明题是初中数学中最常见的题型之一。在讲解此类题型的时候，应充分利用因式分解化繁为简的作用，将复杂的几何问题转为代数求解。

例如，已知两圆的半径分别为a、b，两圆的圆心距为c，若关于x的方程式x²-2ax+b²-(b-a)c=0存在两个相等的实数根，证明两圆外切或相等。首先应明确两圆相等和外切时，其半径与圆心距之间的关系。两圆相切则说明其半径和为圆心距，两圆相等则说明其半径相等。而题中的方程式有两个相等的实数根，则可根据其根的判别式分析a、b、c之间的关系。由于x²-2ax+b²-(b-a)c=0有两个相等的实数根，说明其根的判别式Δ=0，即(-2a)²-4×1×[b²-(b-a)c]=0，进一步化简可得：(a-b)(a+b-c)=0，则有c=a+b或者a=b，则证明两圆外切或相等

以上案例分析展示了因式分解在几何题中的实际应用和重要作用。通过因式分解，我们可以将复杂的代数关系简化，从而更方便地解决几何问题。