积化和差公式证明详细步骤

积化和差公式是初等数学三角函数部分的一组恒等式，它们的主要特点是将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和的常数倍，从而达到降次的作用。以下是积化和差公式的证明详细步骤：

第一步：基本公式推导

积化和差公式的推导基于三角函数的基本公式。最基本的公式包括正弦的和角公式、差角公式以及余弦的和角公式、差角公式。这些公式可以通过加减运算得到，具体如下：

- 正弦的和角公式：`sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ`

- 正弦的差角公式：`sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ`

- 余弦的和角公式：`cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ`

- 余弦的差角公式：`cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ`

第二步：两式相加或相减

接下来，我们将使用上述基本公式进行两两相加或相减的操作。具体来说，我们将把正弦的和角公式与差角公式相加，得到：

`sin(α+β) + sin(α-β) = 2sinαcosβ`

同样，我们也将把余弦的和角公式与差角公式相加，得到：

`cos(α+β) + cos(α-β) = 2cosαcosβ`

第三步：变形得到积化和差公式

最后，我们需要对上述两个结果进行变形，以得到积化和差公式。我们注意到，如果我们将`α+β`设为`θ`，`α-β`设为`φ`，那么`α=(θ+φ)/2`，`β=(θ-φ)/2`。将这些新的变量代入我们之前的推导结果中，我们可以得到：

- 当我们将`sin(α+β) + sin(α-β)`的结果代入，并将`α+β`设为`θ`，`α-β`设为`φ`时，我们得到：

`sinθ + sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]`

- 同样，当我们将`cos(α+β) + cos(α-β)`的结果代入，并将`α+β`设为`θ`，`α-β`设为`φ`时，我们得到：

`cosθ + cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]`

这就是积化和差公式的详细证明步骤。在这个过程中，我们利用了三角函数的基本性质以及加减运算的规则，成功地将两个三角函数值的积化为了另两个三角函数值的和的常数倍。这种转化在解决复杂的三角函数问题时非常有用，因为它可以帮助我们简化表达式，降低问题的难度。