拆项补项法的具体案例分析

拆项补项法是一种用于因式分解的数学方法，主要用于将不能直接分解的多项式通过添加或删除某一项的方式，使其能够使用分组分解法或其他因式分解方法进行分解。

案例一：分解因式x³-9x+8

这是一个三次三项式，我们可以尝试使用拆项补项法进行分解。首先，我们可以将常数项8拆分为-1和9，然后重新组合各项，得到：

\begin{align}x^3-9x+8&=x^3-9x-1+9\\&=(x^3-1)-9x+9\\&=(x-1)(x^2+x+1)-9(x-1)\\&=(x-1)(x^2+x-8)\end{align}

这里，我们通过拆分常数项，并添加了一项-x^2+x^2，使得原多项式能够被分解为两个一次二项式的乘积。

案例二：分解因式a^8+a^4+1

这个式子同样可以通过拆项补项法进行分解。我们可以先凑成完全平方式，然后再凑成平方差公式。具体操作如下：

\begin{align}a^8+a^4+1 &=a^8+2a^4+1-a^4\\ &= (a^4+a^2+1)(a^4-a^2+1)\\ &= [(a^2+1)^2-a^2](a^4-a^2+1) \end{align}

这里，我们通过拆分中间项，并添加了一项-a^4+a^4，使得原式能够被分解为两个完全平方式的乘积。

以上两个案例展示了拆项补项法的基本应用和技巧。需要注意的是，在使用这种方法时，并没有固定的规定要拆哪些项或补哪些项，关键是要根据题目特点灵活变换，并且要能够通过拆分和补全达到分组或应用公式的目的。