三角换元的具体例子

三角换元法是一种常用的数学解题方法，它通过将问题中的字母或式子用三角函数来代替，然后利用三角函数之间的关系来达到解题的目的。这种方法在求解方程、不等式、解析几何和函数最值等方面有着广泛的应用。

示例一：求解函数的值域

问题描述

已知函数f(x)=√(x^2-4)，求其值域。

解题步骤

1. 观察到根号内有平方项，可以考虑使用三角换元法。令x=2secθ，其中θ∈(-π/2,π/2)，则原函数化为f(θ)=2tanθ。

2. 分析得到的新函数f(θ)=2tanθ，其值域为R（因为正切函数的值域为R）。

示例二：求解多元代数式的最值

问题描述

已知实数x,y满足x^2-4y^2=4，求|x|-|y|的最小值。

解题步骤

1. 观察到代数式x^2-4y^2=4是平方差为常数的形式，可以考虑使用三角换元法。令2x=costheta，y=tanttheta，其中tθ∈(-π/2,π/2)，则原式化为|x|-|y|=|costheta|-|tanttheta|。

2. 分析得到的新函数|x|-|y|=|costheta|-|tanttheta|，可以通过画图或者分析三角函数的性质得到其最小值。例如，可以通过分析余弦函数和正切函数的图像，得到最小值。

以上两个例子展示了三角换元法在求解函数值域和多元代数式最值问题中的应用。通过使用三角函数替换原问题中的变量或表达式，可以将问题转化为更为熟悉的三角函数形式，从而更容易地应用三角函数的性质和公式来求解问题。