换元法的典型例题

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。以下是几个换元法的典型例题：

例题1：求解一元二次方程

原方程: (2x^2-1)^2+4x^2-1=0

解题过程:

设y=2x^2-1，则原方程可化为y^2+2y+2-1=0，即y^2+2y+1=0，解得y=-1。

将y=-1代入y=2x^2-1，得到-1=2x^2-1，解得x=0。

例题2：求解函数的值域

原函数: f(x)=1-x^2，x∈[-1,1]

解题过程:

这是一个典型的求解三角函数值域的问题。我们可以利用整体换元，设sinα=x，则原函数可化为f(sinα)=1-sin^2α=cos^2α。

由于x∈[-1,1]，则α∈[0,π]。因此，cosα∈[0,1]，所以f(x)的值域为[0,1]。

例题3：求解不等式

原不等式: x^2-6x+8<0

解题过程:

这是一个一元二次不等式。我们可以利用局部换元，设x=3+t，则原不等式可化为t^2+2t-1<0。

解得t∈(-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2})。再将t=3+x代入，得到x∈(-4-\sqrt{2},-4+\sqrt{2})。

以上三个例题展示了换元法在不同数学问题中的应用，包括一元二次方程、三角函数的值域以及一元二次不等式。通过换元，这些问题都被简化为了更为熟悉的数学形式，从而得到了有效的解法。