主元法证明问题的实例

主元法是一种在数学问题中以其中一个变量为主元，将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题的解题方法。以下是几个具体的实例：

实例1：证明等差数列

问题描述

已知实数a、b、c、d满足a+b+c+d=4(ab+Zbe+cd)，求证a、b、c、d成等差数列。

解题步骤

选a为主元，把已知的等式视为关于a的二次方程，即a^2+2(e-Zb)a·卜(d^2+56“魂一se“+Zb:l一8l)c一4cd)二0，则a二Zb一c士了万)弃一二刁若厄一二砂落飞石万二厄阮子一下一4。从而得到a、b、c、d成等差数列的结论。

实例2：证明函数最值

问题描述

已知函数y=,求y的取值范围。

解题步骤

自变量x的取值范围是任意实数，所以原等式可以转化为关于x的一元函数。通过分析函数的性质，可以得出y的取值范围。

实例3：证明不等式

问题描述

已知p=4sin4a,a∈[lyn.:缸+12x+P对上述P都成立,解此不等式。

解题步骤

本题为关于方法，通过对参数P的讨论求解，显得繁琐，不如考虑P为主变量的一次不等式。构造函数,(P)=P(的二次不等式，按常规一1)+(2-一1),因为a∈[lyn,所以p=4sin4a∈[{.4]当pE[{,4]时.,(P)0恒成立,故有j,(}={(x-i)+(【,(4)=4(一1)+(],01)0r1或一3。

以上实例展示了主元法在证明等差数列、函数最值以及不等式等方面的应用。通过选取适当的主元，将复杂的问题简化，进而得到问题的解。