主元法求函数最值的实例

主元法是一种在多元数学问题中以其中一个为"主元",将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题的解题方法。这种方法的本质是函数与方程思想的应用，能够有效地简化复杂的问题。

实例分析

假设我们有一个包含两个变量a和b的式子，例如f(a,b)=a²+ab+b²。我们的目标是求出这个式子的最小值。直接解这个问题是非常困难的，但是我们可以使用主元法来简化它。

1. 选取主元

我们可以将a或b作为主元。这里我们选择b作为主元，将a看作是b的函数。所以我们需要构造一个关于b的一元二次方程。为此，我们将原式改写为a关于b的函数关系：a=-b²-b+1。

2. 判断主元函数的性质

我们得到的新函数a=(-b²-b+1)是一个关于b的二次函数，其判别式Δ=b²-4ac=1>0。这表明方程有两个不同的实数根，因此原式可以表示为两个相同函数的和，这两个函数关于b的x=-b/(2a)=-b/2对称。

3. 求解最值

由于两个相同函数的和在x=-b/2时取得最小值，我们可以将b=-b/2代入原式，得到f(b)min=f(-b/2)=b²-b+1=[b+(b-1)/2]²+3(b-1)²/4-1。由于两个平方项均大于等于0，所以原式的最小值等于-1，此时b=1，a=0。

通过以上步骤，我们就成功地使用主元法求出了原式的最小值。这种方法的关键在于选取合适的主元，并能够正确地判断主元函数的性质。