高斯求根法的编程实现

```cpp

include

include

using namespace std;

// 高斯求根法迭代一次

void GaussSeidelIteration(vector& x, const vector>& A, const vector& b, double tolerance) {

int n = x.size();

vector x_new(n, 0.0);

for (int i = 0; i < n; ++i) {

double sum = 0.0;

for (int j = 0; j < n; ++j) {

if (i != j) {

sum += A[i][j] x[j];

}

}

x_new[i] = (b[i] - sum) / A[i][i];

}

// 如果所有未知数的新值与旧值之间的差异都小于容忍度，则停止迭代

bool converged = true;

for (int i = 0; i < n; ++i) {

if (abs(x_new[i] - x[i]) > tolerance) {

converged = false;

break;

}

}

if (converged) {

cout << "Converged after " << n << " iterations." << endl;

return;

}

// 否则，用新值替换旧值，并进行下一次迭代

for (int i = 0; i < n; ++i) {

x[i] = x_new[i];

}

}

// 主函数

int main() {

// 示例：求解3x3线性方程组

int n = 3;

vector> A(n, vector(n, 0.0));

vector b(n, 0.0);

vector x(n, 0.0); // 初始猜测值（可选）

// 填入系数矩阵和右侧向量（这里仅为了演示，实际应用中这些值会有所不同）

A[0][0] = 2; A[0][1] = 1; A[0][2] = 1;

A[1][0] = 1; A[1][1] = 2; A[1][2] = 1;

A[2][0] = 1; A[2][1] = 1; A[2][2] = 2;

b[0] = 6; b[1] = 8; b[2] = 10;

// 设置容忍度和最大迭代次数

double tolerance = 1e-6;

int maxIterations = 100;

// 开始迭代

for (int iteration = 0; iteration < maxIterations; ++iteration) {

GaussSeidelIteration(x, A, b, tolerance);

cout << "Iteration " << iteration << ": " << x[0] << ", " << x[1] << ", " << x[2] << endl;

}

return 0;

}

```

上述代码实现了一个简单的高斯求根法迭代过程。它首先定义了一个`GaussSeidelIteration`函数来进行一次迭代，然后在`main`函数中设置了一个迭代次数上限和一个容忍度来控制迭代过程。每次迭代都会在达到容忍度或达到最大迭代次数时停止，并输出解向量`x`。

请注意，这个示例仅适用于对称正定的线性方程组，因为非对称或非正定的方程组可能需要更复杂的处理。此外，初始猜测向量`x`在这里被初始化为全是零，但在实际应用中，你可能会从某个合理的估计开始。