提公因式法与十字相乘法结合应用

在因式分解中，提公因式法和十字相乘法是两种常用的策略。提公因式法是寻找多项式中公共的因子，并将其提取出来，从而简化剩下的部分。十字相乘法则是针对特定形式的二次三项式，通过将常数项分解成两个因数的积，并使这两因数的和等于一次项系数，来实现因式分解。

以下是这两种方法结合应用的一些步骤和示例：

确定公因式

首先，需要确定多项式的公因式。这包括找出系数、字母和指数的公共部分。例如，在多项式`8—12`中，公因式是`4`。

使用提公因式法

一旦找到了公因式，就可以使用提公因式法将其提取出来。对于上述例子，提取公因式后得到`4(2—3)`。

判断是否适用十字相乘法

接下来，需要判断是否可以使用十字相乘法进一步分解剩余的部分。如果剩余的部分是一个二次三项式，且二次项系数为1，那么就可以尝试使用十字相乘法。如果不符合这个条件，那么就需要考虑其他的分解方法。

应用十字相乘法

如果决定使用十字相乘法，那么需要将常数项分解成两个因数的积，并使这两因数的和等于一次项系数。例如，在多项式`2x²+7x+3`中，常数项`3`可以分解为`1×3`，而一次项系数`7`等于`1+3`，因此可以分解为`(x+1)(2x+3)`。

结合应用

提公因式法和十字相乘法可以结合应用，以更有效地分解复杂的多项式。例如，在多项式`5(x²-y²)²-五分之一x²y²`中，首先可以提取公因式`五分之一x²y²`，得到`五分之一x²y²(5(x²-y²)²-1)`。然后，剩余的部分可以使用十字相乘法分解，因为它是二次三项式且符合十字相乘法的条件。

综上所述，提公因式法和十字相乘法结合应用可以帮助我们更高效地分解多项式。在实际操作中，需要根据多项式的具体形式和特点，灵活选择合适的分解方法。