欧拉公式推导详细步骤

欧拉公式是数学里最令人着迷的公式之一，它将数学里最重要的几个常数联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。以下是欧拉公式的几种推导方法：

方法一：构造函数法

1. 构造函数：构造函数f(x)=\frac{\cosx+i\sinx}{e^{ix}}。

2. 函数求导：对构造函数进行求导，得到f'(x)=\frac{(-\sinx+i\cosx)-i(\cosx+i\sinx)}{e^{ix}}=0。

3. 代入求值：将x=1代入原函数，得到f(0)=1。

4. 得出结果：因此，我们不难知道\frac{\cosx+i\sinx}{e^{ix}}=1，即e^{ix}=\cosx+i\sinx。

方法二：极限法

1. 极限的性质：利用极限的知识，我们知道\lim_{n\rightarrow\infty}{(1+\frac{1}{n})^n}=e。

2. 扩展到复数：于是我们不妨假定c=a+ib，于是有\lim_{n\rightarrow\infty}{(1+\frac{c}{n})^n}=\lim_{n\rightarrow\infty}[{(1+\frac{1}{\frac{n}{c}})^{\frac{n}{c}}}]^c=e^c。

3. 极坐标表示：设复数z=(1+\frac{a}{n})+i\frac{b}{n}=r(\cos\theta+i\sin\theta)。

4. 求解极限：于是有\lim_{n\rightarrow\infty}{r^n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{e^{n\lnr}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{e^{\frac{n}{2}\ln(1+\frac{a^2+b^2+2an}{n^2})}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{e^{\frac{n}{2}\frac{a^2+b^2+2an}{n^2}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{e^{(\frac{a^2+b^2}{2n}+a)}}=e^a。

5. 终得结果：同样有\lim_{n\rightarrow\infty}{n\theta}=\lim_{n\rightarrow\infty}{n\arctan\frac{b}{n+a}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{n\frac{b}{n+a}}=b。因此，有\lim_{n\rightarrow\infty}{r^n(\cosn\theta+i\sinn\theta)}=e^a(\cosb+i\sinb)。利用棣莫弗公式(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cosn\theta+i\sinn\theta，有\lim_{n\rightarrow\infty}{z^n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{r^n(\cos\theta+i\sin\theta)^n}=e^a(\cosb+i\sinb)。从而得出e^a(\cosb+i\sinb)=e^{a+ib}，整理后，有e^{ib}=\cosb+i\sinb，即e^{ix}=\cosx+i\sinx。

方法三：利用含皮亚诺余项的麦克劳林公式

1. 麦克劳林公式：含皮亚诺余项的麦克劳林公式是f(x)=\sum_{1}^{n}{\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n}+o(x^{n})。

2. 三角函数的麦克劳林展开式：代入公式，我们可以求得e^{ix}=1+ix+\frac{-x^2}{2!}+\frac{-ix^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...，\cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...，\sinx=x-\frac{x^3}{3!}+...。

3. 合并同类项：于是，我们会有e^{ix}=\cosx+i\sinx。

以上就是欧拉公式的三种推导方法。