三角函数构造法实例

三角函数构造法是一种重要的数学思维方法，在处理某些三角函数的求值问题时，若能充分挖掘题中的潜在信息，构造与之相关的函数、向量、数列、对偶式和几何图形等，往往能让解题过程变得更简洁。以下是几个具体的实例：

实例1：利用构造函数求解

问题描述：

已知x∈-,,y∈-,,a∈R且x3+sinx-2a=0,4y3+sinycosy+a=0,求cos2(x+2y)的值。

解题步骤：

首先，我们尝试消去两个等式中的a，得到x3+sinx=(-2y)3+sin(-2y)。然后，我们可以联想到构造函数来求解。设f(t)=t3+sint，则有f(x)=f(-2y)。由于在区间-x, y-上，f(t)为增函数，因此x=-2y，即cos2(x+2y)=1。

实例2：利用构造向量求解

问题描述：

若cosα+2sinα=-，则tanα= (A)(B)2(C)-(D)-2。

解题步骤：

我们可以设向量a=(1,2),b=(cosα,sinα)，根据题意可得cos〈a,b〉==-1，a∥b。由此可以得到sinα=2cosα，进而得到tanα=2。

实例3：利用构造数列求解

问题描述：

已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π)，求tan2θ的值。

解题步骤：

根据题意，我们可以先设sinθ,cosθ是公差为d的等差数列的第一项a1和第三项a3，再利用等差中项的特征，根据a1+d=a3-d构造相应的方程。这样就改变了问题的原有结构，完成了三角函数与代数的相互转化。解得d=±，由于θ∈(0,π)，所以d=-。从而得到tanθ===-,进而得到tan2θ==。

以上就是三角函数构造法的三个实例，希望能够帮助你更好地理解和应用这种解题方法。