一元二次方程求根公式推导

一元二次方程求根公式是用于求解一元二次方程的工具。一元二次方程通常形如ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。方程根公式就是用于求解这样的方程中x的值。方程根公式为：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a。

推导过程

以下是推导一元二次方程求根公式的两种方法：

1. 配方法

- 移项：将方程两边都除以a，得x²+bx/a+c/a=0，然后移项得x²+bx/a=-c/a。

- 配方：方程两边都加上一次项系数b/a的一半的平方，即(x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a。

- 开根：开根后得x+bu002F2a=±[√(b^2-4ac)]u002F2a，最终可得x=[-b±√(b^2-4ac)]u002F2a。

2. 换元法

- 换元：令x=y-s/3，代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。

- 求根：方程x^3+px+q=0的三个根为：x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ +[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3); x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ +w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，其中w=(-1+i√3)/2。

- 转化：通过换元（令），我们发现的一次项消失了，从而将一般形式的一元二次方程转化为了（其中）的形式。

无论是哪种方法，推导过程中都需要一定的代数运算和数学思维。在推导过程中，需要注意判别式b²-4ac的值。当判别式大于0时，方程有两个实数根；等于0时，方程有一个实数根；小于0时，方程没有实数根。