分解因式与求根公式的结合应用

分解因式是将一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这种方法在数学求根作图、解一元二次方程等方面有很广泛的应用。而求根公式则是指由方程系数直接把根表示出来的数学计算公式，它与因式分解有着紧密的联系。

结合应用实例

实例1：

对于多项式6x2-7xy-3y2-x+7y-2，我们可以先利用求根公式法分解因式。首先，我们需要找到二次三项式的判别式Δ=b^2-4ac，然后根据判别式的正负情况来决定是否能够用求根公式法分解因式。在这个例子中，Δ=49+463=121>0，因此我们可以用求根公式法分解因式。具体的步骤是：先写出一元二次方程的求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，然后将二次三项式的系数代入求根公式，得到x1=(-(-7)+√(49+4(-3)6))/(26)和x2=(-(-7)-√(49+4(-3)6))/(26)。最后，我们将原多项式写成(ax2+bx+c)=a(x-x1)(x-x2)的形式，得到因式分解式为6x2-7xy-3y2-x+7y-2=6(x+2y-1)(x-y+3)。

实例2：

对于二次三项式9x2+6x-4，我们发现无法直接利用十字相乘法进行因式分解。但是，我们可以利用一元二次方程的求根公式进行因式分解。同样地，我们先写出求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，然后将二次三项式的系数代入求根公式，得到x1=(-6±√(36+494))/(29)。最后，我们将原二次三项式写成(9x2+6x-4)=9(x-x1)的形式，得到因式分解式为9x2+6x-4=9(x-(-1+√(13))/9)(x-(-1-√(13))/9)。

注意事项

在使用求根公式法分解因式时，需要注意以下几点：

1. 判别式的正负：

判别式Δ=b^2-4ac决定了二次三项式能否用求根公式法分解因式。如果Δ>0，则有两个不同的实数根；如果Δ=0，则有两个相同的实数根；如果Δ<0，则没有实数根，但可以有复数根。

2. 系数的代入：

在使用求根公式时，需要将二次三项式的系数准确地代入公式中，以确保得到的根是正确的。

3. 结果的验证：

分解因式后，可以通过将得到的因式相乘来验证结果的正确性。

通过上述实例和注意事项，我们可以看到分解因式与求根公式的结合应用是一种有效的数学方法，它不仅可以帮助我们解决复杂的数学问题，还可以提高我们的解题能力和思维能力。