根的判别式计算实例

根的判别式是判断一元二次方程实根个数的公式，其计算公式为Δ = b² - 4ac。下面我们将通过具体的计算实例来详细解释根的判别式的应用。

实例一：已知方程求根情况

方程: x² + x = 1

解：为了解方程x² + x = 1，我们可以将其重新排列为x² + x - 1 = 0。接下来，我们计算其根的判别式：

Δ = b² - 4ac = (1)² - 4×1×(-1) = 5 > 0

根据根的判别式的性质，当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，方程没有实数根。由于Δ = 5 > 0，所以该方程有两个不相等的实数根。

实例二：含字母的一元二次方程根的情况

方程: kx² - 2x - 1 = 0

解：同样地，我们需要计算其根的判别式：

Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4×k×(-1) = 4 + 4k

根据题目条件，该方程有两个不相等的实数根。因此，我们需要Δ > 0：

4 + 4k > 0

k > -1

所以，当k > -1时，方程kx² - 2x - 1 = 0有两个不相等的实数根。

实例三：由方程根的情况确定字母的值或取值范围

问题: 若关于x的方程kx² - 2x - 1 = 0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

解：如前所述，当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。因此，我们需要找到使得Δ > 0的k的取值范围：

4 + 4k > 0

k > -1

所以，当k > -1时，方程kx² - 2x - 1 = 0有两个不相等的实数根。

实例四：应用根的判别式求代数式的取值范围

问题: 已知关于的一元二次方程有实数根，设此方程的一个实数根为x0，令y = (x0 + 1/x0)，则y的取值范围为。

解：由于一元二次方程有实数根，那么其根的判别式Δ ≥ 0。但是，由于题目中并未给出具体的方程，我们无法直接计算Δ。不过，我们可以利用一元二次方程根的性质来推导y的取值范围。

对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），其两个实数根可以通过求根公式得到：

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)

由于我们只需要考虑一个实数根x0，因此可以忽略±符号。然后，我们可以将x0带入y = (x0 + 1/x0)中得到y关于a、b、c的关系式。进一步分析这个关系式，并结合Δ ≥ 0的条件，我们可以得出y的取值范围。

以上就是根的判别式的计算实例。需要注意的是，在实际应用中，根的判别式不仅可以用来判断一元二次方程的根的情况，还可以用来解系数的取值范围、判断方程根的个数及分布情况等问题。希望这些实例能够帮助你更好地理解和应用根的判别式。