一元二次不等式解集案例

一元二次不等式解集案例是通过具体的数学问题来展示如何求解一元二次不等式的解集。以下是几个具体的案例：

案例一：利用二次函数图像求解

问题: 解不等式 x^2 - 4x + 3 > 0。

解法：

1. 将不等式转化为标准形式：x^2 - 4x + 3 - 0 = (x - 1)(x - 3) > 0。

2. 判断二次项系数的符号：a = 1 > 0。

3. 判别式的符号：Δ = (-4)^2 - 413 = 4 > 0，所以方程有两个不同的实根。

4. 根据二次函数图像，找出不等式的解集。由于 a > 0，图像开口向上。两个根为 x_1 = 1 和 x_2 = 3，根据“穿根法”，得到不等式的解集为 (-∞, 1) ∪ (3, +∞)。

案例二：分类讨论求解

问题：解不等式 x^2 + x - 2 < 0。

解法：

1. 将不等式分解因式：x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)。

2. 分类讨论根的符号：

- 当 x + 2 > 0 且 x - 1 < 0 时，有 -2 < x < 1；

- 当 x + 2 < 0 且 x - 1 > 0 时，无解。

3. 结合以上两种情况，得到不等式的解集为 (-2, 1)。

通过这些案例，我们可以看到一元二次不等式解集的求解通常涉及到二次函数图像的分析、判别式的计算以及分类讨论等数学方法。