三角函数应用题解

三角函数在实际问题中的应用非常广泛，例如测量、导航等。在解答这类应用题时，关键是要深刻理解题意，并学会将文字语言转化为数学符号语言。以下是几个具体的三角函数应用题及其解法：

问题1：测量塔高

题目描述

在测得河对岸塔AB的高时，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，求塔AB的高。

解题步骤

1. 建立直角坐标系，以C为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向。

2. 在直角三角形ABC中，由于∠ABC=60°，所以BC=ABtan(60°)=AB(√3)/3。

3. 在直角三角形BCD中，由于∠BDC=45°，所以BD=BC=AB(√3)/3。

4. 由于CD=10米，所以在直角三角形BCD中，AB=BD/sin(45°)=10(√2)/3≈5.77米。

问题2：居民小区草坪设计

题目描述

某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB=50米，BC=米，为了便于居民平时休闲漫步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°。试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低并求出最低总费用。

解题步骤

1. 设BC=x，则OE=BE=x/2。

2. 在直角三角形OEF中，OF=OEtan(90°)=x/2。

3. 周长L=AB+BC+OE+OF+x=50+x+(x/2)+(x/2)+x=1.5x+50。

4. 定义域为x>0。

5. 铺路总费用P=400L=600x+20000。

6. 要使总费用最低，则需P最小。对P求导数，令导数等于0得到x=20（米）。

7. 最低总费用为P(x=20)=60020+20000=46000（元）。

问题3：矿难救援定位

题目描述

某煤矿发生爆炸，该地救援队马上赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面 A、B两个探测点探测到C处有生命迹象。已知A、B两点相距6米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度。

解题步骤

1. 在直角三角形ABC中，由于∠BAC=30°，所以BC=ABsin(30°)=6(1/2)=3米。

2. 在直角三角形CBD中，由于∠DBC=45°，所以BD=BC=3米。

3. 故生命所在点C的深度为BD+CD=3+6=9米。

以上就是几个三角函数应用题的解法示例。在解答这类问题时，需要注意以下几点：

- 正确理解和运用三角函数的基本概念和性质。

- 建立合适的数学模型，如直角坐标系、三角形等。

- 注意单位的转换和计算精度的要求。