正余弦定理的经典例题

正余弦定理是解决三角形问题的重要工具，以下是一些经典例题及其解析：

例题1：求解斜三角形中的基本元素

在△ABC中，已知∠B=60°，AB=2，AC=2，求△ABC的面积。

解析：

这是一个典型的求解斜三角形问题。我们可以使用正弦定理或者余弦定理来求解。这里我们使用正弦定理，即 $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $，其中 $ a, b, c $ 是三角形的边长，$ A, B, C $ 是对应的内角。根据题目，我们可以得到 $\frac{2}{\sin A} = \frac{2}{\sin B}$，因为 $B=60°$，所以 $\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$，进而得到 $\sin A=\frac{1}{2}$。由于 $A$ 是一个锐角，所以 $A=30°$ 或者 $A=150°$。但是由于 $A+C=180°-B=120°$，所以 $A=30°$，$C=90°$。因此，三角形是一个直角三角形，面积为 $S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\times2\times2=2$ 平方单位。

例题2：判断三角形的形状

在△ABC中，已知 a:b:c = 3:5:7，求此三角形的最大内角。

解析：

这是一个判断三角形形状的问题。我们可以使用余弦定理来求解。根据题目，我们可以设 a=3k, b=5k, c=7k。根据余弦定理，$ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} $，我们可以得到 $\cos C = \frac{(3k)^2 + (5k)^2 - (7k)^2}{2\times3k\times5k} = -\frac{1}{2}$。由于 C 是一个内角，所以 $C=120°$。因此，三角形是一个等腰三角形，且最大内角为 $C=120°$。

例题3：解决与面积有关的问题

在△ABC中，已知 AB=1, BC=2, 求角C的取值范围。

解析：

这是一个解决与面积有关的问题。我们可以使用正弦定理或者余弦定理来求解。这里我们使用余弦定理，即 $ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C $。根据题目，我们可以得到 $c^2 = 1 + 4 - 4\cos C$。由于 $\cos C$ 的取值范围是 [-1, 1]，所以 $c^2$ 的取值范围是 [1, 9]，进而得到 $c$ 的取值范围是 [$\sqrt{1}$, $\sqrt{9}$]，即 [1, 3]。因此，角C的取值范围是 $(0, \pi)$ 中的一个子区间，即 $(0, \arccos(\frac{3}{4})) \cup (\arccos(\frac{3}{4}), \pi)$。

以上例题展示了正余弦定理在解决不同类型三角形问题中的应用。通过这些例题的学习和练习，可以帮助学生更好地理解和掌握正余弦定理的原理和应用技巧。